Potencias (repaso)

Se llama potencia de un número al exponente (superíndice) que posee un número o una letra (llamados base). Aclaramos con dos ejemplos de cada uno:

6² → (seis al cuadrado)               x³ → (equis al cubo)

3⁵  → (tres a la quinta)               x⁶ → (equis a la sexta)

Así cuando vemos un número o letra con exponente (por ahora veremos sólo exponentes pertenecientes al conjunto de los números naturales), sabremos que se trata de la multiplicación del número o letra de base. Utilizando los mismos ejemplos:

6² = 6 . 6 → (seis por seis)
 x³ = x . x . x → (equis por equis por equis)

3⁵ = 3.3.3.3.3 → (tres multiplicado 5 veces)
x⁶ = x.x.x.x.x.x → (equis multiplicado 6 veces)

Ya podemos generalizar y nombrar cada parte:

a^m = a.a.a.a. ... .a → (a es la base y m es el exponente)

(se multiplica la base tantas veces como indica el exponente)

CUIDADO:

TODO NÚMERO (o letra) ELEVADO A LA POTENCIA 0 (cero) ES IGUAL A 1 (uno)

3⁰ = 1           9⁰ = 1        1538⁰ = 1        x⁰ = 1      en general: a⁰ = 1

Propiedades

1. En la multiplicación de potencias de igual base, se suman los exponentes → a^m . aⁿ = a^{m + n}
2. En la división de potencias de igual base, se restan los exponentes ......... → a^m : aⁿ = a^{m - n}
3. Potencia de potencia, se multiplican los exponentes ............................... → (a^m)ⁿ = a^{m . n}



Gráfica de una función lineal

Hace algunos meses aprendimos cómo representar puntos en el plano cartesiano. También vimos que uniendo dos puntos dados queda representado un segmento de recta del cual supimos medir su longitud (utilizando el teorema de Pitágoras).
Lo que haremos ahora es casi lo mismo, incluso más sencillo ya que no vamos a medir longitudes.

Retomando el ejemplo dado en el artículo "función lineal" donde generamos una tabla, ahora cada uno de los datos de la tabla será representado en el plano como pares ordenados, así colocamos los pares (1,8); (2,13); (3,18); (4,23) :

x	y = 5x+3
1	8
2	13
3	18
4	23

Luego unimos los puntos con una recta y tenemos realizada la gráfica de la función dada.

Como ejercicio se pide realizar la gráfica de todas las funciones a las cuales armaron tablas (del artículo "función lineal")

Repaso de fracciones

Fracciones/Conjunto de los números Racionales

Una fracción es una parte de un total

Cortá una pizza en trozos, y tendrás fracciones:

1/2	1/4	3/8
(Una mitad)	(Un cuarto)	(Tres octavos)
El número de arriba te dice cuántas porciones quedan y el de abajo te dice en cuántas porciones se ha cortado la pizza.

Numerador / Denominador

Al número de arriba lo llamamos Numerador, es el número de partes que tenés.
Al de abajo lo llamamos Denominador, es el número de partes en que se ha dividido el total.

Fracciones equivalentes

Algunas fracciones parecen diferentes pero en realidad son la misma, por ejemplo:

	4/8	=	2/4	=	1/2
	(Cuatro octavos)		(Dos cuartos)		(Una mitad)

Normalmente lo mejor es dar la respuesta usando la fracción más simple (1/2 en este caso). Eso se llama Simplificar o Reducir la fracción.

Hay tres tipos de fracciones:

las que el numerad < el denominad => son fracciones menores que 1 => son propias

las que el numerad > el denominad => son fracciones mayores que 1 => son impropias

las que al dividirlas nos da un número entero => son fracciones aparentes.

Saludos.

Función lineal (3°)

A partir del repaso realizado con ecuaciones, donde hay una incógnita (la conocida x) y esta debe tener un valor único el cual se debe encontrar, damos un paso más y ampliamos la mirada.
Una función lineal nos ayuda a predecir el comportamiento de algunas cosas de la realidad (cuando hay proporcionalidad directa). Por ejemplo imaginemos que nos venden un producto a razón de $5.- por kilogramo y además nos cobran la caja en la que nos dan el producto $3.-
Como sólo sabemos eso, en lugar de tener la ecuación igualada a un resultado la veremos igualada a otra variable (que llamaremos y), veamos de que manera:
antes:     5x + 3 = 23  esto se da si y sólo si compramos 4 kilos del producto (x=4)
ahora:    5x + 3 = y   entonces podremos predecir cuánto valen los kilos que querramos comprar más el valor de la caja.
¿Cómo se resuelve esto? fácil, generamos una tabla y le damos valores a x de la siguiente manera:

x	y = 5x+3
1
2
3
4

Luego resolvemos reemplazando la x con el valor dado.

Si  x = 1  (compramos 1 kilo) =>  y = 5 . 1 + 3 = 8  (valor 8 pesos)

Si  x = 2  =>  y = 5 . 2 + 3 = 13 y así irán completando la tabla...

x	y = 5x+3
1	8
2	13
3	18
4	23

Realizar una tabla para cada ecuación

• y = 4x - 2
• y = (1/3)x - 1
• y = (7/2)x + 3
• y = (9/3)x + 6 - 2

Regla de tres simple (1°)

A partir del repaso (post receso) donde vimos las unidades de medidas y sus conversiones, llegamos a utilizar la regla de tres. Esta herramienta nos permitirá solucionar gran cantidad inconvenientes cotidianos.
Como su nombre lo dice, es utilizada cuando tenemos tres datos, dos de los cuales pertenecen a una unidad de medida y el restante a otra unidad. Veamos un ejemplo simple:

Si un kg de papas vale $3.-, ¿cuánto tendré que pagar si llevo 5 kg.?
Hacemos la regla de tres y analizamos
   1 kg ___________ 3 $
   5 kg ___________ x                donde x = 5 kg . 3 $
                                                                      1 kg
en el numerador se multiplica y queda     x = 15 kg . $
                                                                      1 kg
se simplifica kg con kg y el resultado es  x = 15 $.
Se utiliza mucho en áreas como la química, la física y obviamente la aprendemos en matemática.

Resolver: (ejercicios del Prof. Andrés Luetich)

1. Para averiguar cuántos kilómetros recorría mi auto con un litro de nafta, antes de viajar a Santa Fe por la autopista, llené el tanque. Al llegar a la capital de la provincia volví a llenar el tanque de nafta. Para hacerlo tuve que cargar quince litros de nafta. Sabiendo que la distancia entre Rosario y Santa Fe es de 160 km, ¿cuántos kilómetros recorrió mi auto por cada litro de combustible consumido?
2. Cuando las legiones del ejército romano debían desplazarse hacia algún punto del Imperio —para imponer el orden o defender las fronteras— recorrían unos 35 km por día. Hay que tener en cuenta que casi todos los hombres viajaban a pie y cargando sus armas. ¿Cuántos días les tomaba a estos legionarios recorrer una distancia de 1050 km.? 
3. En las aerosillas del Cerro Catedral, a unos pocos kilómetros de la Ciudad de San Carlos de Bariloche, trasladar a un contingente de 100 personas desde la base del Cerro hasta el fin del último de sus tres tramos insume unos 60 minutos. Teniendo en cuenta que a un pasajero ese traslado le toma 40 minutos, ¿cuánto tiempo demorá en llegar hasta arriba un grupo de 40 personas?
4. Un empleado que trabaja 6 horas diarias recibe como salario $4800 por mes. El dueño de la fábrica le ha comunicado que la empresa aumentará su horario de trabajo en 2 horas diarias y el sueldo proporcionalmente. ¿Cuál será a partir de ahora su sueldo?