Módulo de un vector

Es una aplicación más del Teorema de Pitágoras.
Veamos como hacerlo con el ejemplo de la entrada anterior:

El u^→= (6; -4), nos indica el movimiento en "x" (punteada azul horizontal) y el movimiento en "y" (punteada azul vertical). Dicho movimiento nos deja el dibujo de un triángulo rectángulo del cual "u" es su hipotenusa. Las longitudes de los catetos son los valores del mismo vector. Por lo tanto el módulo del u será:

|u^→| = √[6² + (-4)²]

|u^→| = √(52)

|u^→| ≅ 7.21

Por lo tanto el módulo (o valor absoluto) del vector "u" es aproximadamente 7.21.

Como se puede advertir, es muy fácil. Y más fácil aún es cuando el vector está en posición horizontal o vertical, pues en esos casos el módulo estará a la vista en el vector.

Por ejemplo un vector "v" que une los vétices B y C₁ del mismo esquema dado más arriba será:

v^→= (4; 0)  partiendo desde B= (5; 4).

Luego su módulo:

|v^→| = 4  partiendo desde B

Vectores en el plano

Para identificar ciertas magnitudes, como la longitud o la masa, es suficiente da un número y explicitar su unidad de medida. Así, si queremos establecer la longitud de una varilla, basta con decir que su largo en de 20 cm.

Sin embargo, otras magnitudes -como la fuerza o la velocidad- no quedan determinadas si además no se indica una dirección y un sentido.

Para expresar este tipo de magnitudes se recurre al concepto de vector (de ahí que se las llame magnitudes vectoriales).

VECTOR

Si P y Q son dos puntos distintos del espacio, el segmento de orígen P y extremo Q se denomina vector PQ, y se simboliza PQ^→ o simplemente u^→.

Además, llamamos vector nulo a todo punto del plano o par ordenado y lo simbolizamos 0^→.

Éste no tiene dirección ni sentido.

VERSOR

Llamamos versor a todo vector de módulo 1, es decir: u^→ es versor ⇔ |u^→| = 1.

IGUALDAD DE VECTORES
Dos vectores no nulos son iguales (o equipolentes) si tienen igual dirección, igual sentido e igual módulo.

Ejemplo 1:

AB^→ = CD^→ ya que su dirección, sentido y módulo son iguales.

Ejemplo 2 (una aplicación):
Si tenemos un triángulo ABC en la posición que se señala en color azul y luego de una traslación se ubica en A₁B₁C₁, la posición señalada en verde. Entendemos que se movió, pero cómo puede definirse tal movimiento, Es aquí donde podemos utilizar un vector, el cual nos dirá el traslado del triángulo desde la posición en azul a la posición en verde.

Debido a que no hay rotación ni deformación del triángulo, podemos concentrarnos en un punto cualquiera, por ejemplo el vértice A y entender la traslación hasta el vértice A₁.
A= (2; 3)  →  A₁= (8; -1)
El vector (en rojo) se forma moviéndose 6 unidades en el eje "x" y -4 unidades en el eje "y". Por lo tanto diremos que el u^→= (6; -4) pero ATENCIÓN, el recorrido comienza en A= (2; 3).
Respuesta del ejemplo 2: El vector que representa el movimiento del triángulo es u^→= (6; -4) desde el punto A= (2; 3).

Debemos recordar que el vector de movimiento debe tener el dato de su orígen para evitar malos entendidos.

Fuentes: Matemática I Polimodal - Estrada - 2004
                Matemática II Polimodal - Santillana - 2000