Demostraciones I (4°)

En este primer caso, veremos como expone el propio Euclides la proposición que habla de los ángulos en una circunferencia:

Libro III. Proposición 20. En un círculo, el ángulo correspondiente al centro es el doble del correspondiente a la circunferencia cuando los ángulos tienen como base la misma circunferencia.

Veamos un gráfico realizado con GeoGebra en el siguiente enlace: Ángulos inscritos en una circunferencia.

¿Se puede demostrar? Si.

Hipótesis:
Dados la circunferencia c, el ángulo central comprendido entre los puntos CAD y el ángulo CED, se dice que CAD es el doble de CED.

Ayuda complementaria: trazaremos un segmento desde E hasta el otro extremo de la circunferencia (F) que pase por el punto central A. Con este segmento se forman los triángulos CAE y DAE.

Tesis:
   CAE y DAE son triángulos isósceles por tener dos de sus lados iguales al radio de la circunferencia.
   Los ángulos AED + ADE = FAD por ser este último, ángulo exterior del triángulo DAE, es decir 2.AED = FAD.
   Por lo mismo, AEC + ACE = FAC, entonces 2.AEC = FAC.
   Asimismo los ángulos FAD + FAC = CAD y también AED + AEC = CED.

Demostración:

FAD + FAC = CAD

2.AED + 2.AEC = CAD

2.(AED + AEC) = CAD

2.(CED) = CAD

   lqqd.

Copien esto en carpeta y realicen el gráfico del enlace. Tengan en cuenta que en el enlace pueden mover cualquier punto y verán que se mantiene siempre la relación que aquí se demostró.

Saludos cordiales.