Combinatoria - Variaciones sin repetición (3°)

Se les dió un ejercicio similar al que sigue y ustedes intentaron resolverlo. Veamos otro.

Imaginen que tienen una bolsa oscura (no se puede ver lo que hay dentro) que contiene 8 bolitas numeradas del 1 al 8.
Si se extraen tres bolitas de a una por turno y sin mirar: ¿Cuántos números de tres cifras pueden armarse con dichas extracciones?

Analicemos la situación y hagamos algunos supuestos:
1. Al sacar la primera, puede salir cualquiera de los 8 números.
2. Al sacar la segunda, puede salir un número entre 7 posiblidades, ya que saqué la primera antes y no la repuse.
3. Por lo mismo, al sacar la tercera tendré 6 bolitas númeradas para elegir al azar.

Luego de este breve análisis podemos arribar a una posible solucíón: 8 * 7 * 6 elecciones posibles hacen un total de 336 posibles números de tres cifras. Con el objetivo de asegurarse de lo que digo (siempre duden de lo que se les dice, asegúrense ustedes mismos), les pido que escriban todos los posibles números de tres cifras que contienen al número 1 en alguna posición (unidad, decena o centena).

La situación expuesta es parecida a una permutación, pero de NO TODOS los elementos. Ésto se llama variación de 8 elementos tomados de a 3. Se escribe V_{8; 3} y su fórmula es la siguiente:

V_8;3 =  8!   =  8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

5!            5 * 4 * 3 * 2 * 1

El número 5 surge de restar 3 al 8.

Llamamos variación sin repetición de m elementos tomados de a n, a cada forma de ordenar m elementos en n lugares, sin que un mismo elemento pueda ubicarse en más de un lugar. Se calcula de la siguiente manera:

V_{m; n} =     m!             con m > n

(m-n)!             

Ejercicio: 

¿Qué sucedería en el caso que m = n en la fórmula dada?

Combinatoria - Permutaciones (3°)

En estas semanas estuvimos aprendiendo conceptos muy útiles para el conteo de situaciones que pueden ocurrir en cualquier ámbito.
Comenzamos analizando el juego del "Sudoku" básico. El mismo es una matriz de tres por tres en el que se colocan los números del 1 al 9 y cada fila, cada columna y cada diagonal deben sumar 15.
Por consiguiente se propuso armar ternas que sumaran 15 con el conjunto dado. Así, ustedes armaron todas las ternas que puedieron, respetando las condiciones que no se repitan números y que estén ordenadas de menor a mayor.

Conjunto A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Ternas de A que comienzan con 1 y suman 15: {1; 5; 9}, {1; 6; 8}
Ternas de A que comienzan con 2 y suman 15: {2; 4; 9}, {2; 5; 8}, {2; 6; 7}
Ternas de A que comienzan con 3 y suman 15: {3; 4; 8}, {3; 5; 7}
Ternas de A que comienzan con 4 y suman 15: {4; 5; 6}

Con las condiciones dadas, no hay más ternas. Y esas condiciones son necesarias para evitar confundirse.
A continuación, con cada terna queremos saber de cuántas maneras las podemos utilizar. Es decir, que con la terna {1; 5; 9} podemos hacer otras: {1; 9; 5}, {5; 1; 9} y otras (completar). ¿Cuántas son? En este caso, por ser pocos números, haciendo una lista se deduce fácilmente. Pero si fueran muchos se complicaría un poco. Entonces analicemos.

Los números {1; 5; 9} se deben ubicar en los lugares correspondiente a unidad, decena y centena. Veamos: para la centena podemos elegir el 1, el 5 o el 9. Para la decena podemos elegir entre dos de ellos(porque ya utilizamos el primero en la centena), y para la unidad queda uno solo. Así 3 posibilidades para el primer lugar, 2 para el segundo y 1 para el tercero... son 3 * 2 * 1 = 6. Entonces podemos organizar los tres números de seis maneras distintas.

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A esta multiplicación (3 * 2 * 1)  se la llama factorial de un número (en este caso factorial de 3) y se escribe n! (en este caso 3!). Por convención se define que el factorial de 0 es 1. Es decir 0! = 1.
Conceptualmente es la permutación de n elementos. Es decir que:

P_n = n! = n * (n-1) * (n-2) * (n-3) * ... * (n-n+1)

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Ejemplo 1:
¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse 4 personas en 4 lugares libres?

Esto es la permutación de 4 elementos.

P₄ = 4! = 4 * 3 * 2 *1 = 24

Rta: Pueden sentarse de 24 maneras diferentes.

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Ejemplo 2:
Si en un cd hay 10 canciones grabadas y quisiera escucharlas en distinto orden cada día. ¿Cuántos dias pasarán hasta que vuelva a repetirse la serie de canciones?

Esto es la permutación de 10 elementos.

P₁₀ = 10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 *1 = 3628800

Rta: Pasarán 3628800 días antes de repetir una serie.

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Luego, habrá 8 ternas con 6 posibles permutaciones cada una, Por lo tanto habrá 48 ternas utilizables para armar el "Sudoku" básico. Un ejemplo:

Ejercicio: Armar dos Sudoku para completar, colocando sólo 3 datos en la matriz.

Expo Técnica 1 - Dock Sud

Durante los días 6 y 7 de noviembre del corriente año se realizó la exposición promocional que anualmente organiza la EET n° 1 de Dock Sud, Avellaneda, Buenos Aires.
Uno de los trabajos destacados de la Institución es la inclusión de un séptimo año puramente práctico, donde alumnos y docentes realizan proyectos anuales. El proyecto actualmente en ejecución es la reparación y puesta en marcha de varias computadoras a las que se les instala un sistema operativo y se agregan programas que realizan los alumnos. Dichos programas son juegos interactivos para niños de edad preescolar (totalmente desarrollados por alumnos). En este caso, se acordó la donación de lo antedicho al jardín de infantes vecino a la Institución, una vez finalizados los trámites de registro para permitir la distribución. Para mas información, puede llamar al teléfono 42038006.
Aprovecho la ocasión para mostrar algunos trabajos que expusieron distintos cursos.

Proporciones (3°)

Veremos de qué hablamos al decir proporción...
Si tenemos un triángulo cualquiera con vértices A, B y C y trazamos un segmento D-E que sea paralelo a B-C (interior al triángulo) notaremos algunas relaciones, veamos un ejemplo:

Utilizando GeoGebra medir es más fácil...

(hacer click en la imagen para agrandar)

De este ejemplo resulta ser que al dividir las longitudes los dos segmentos en los que se dividió A-B (es decir A-E=2.49 y E-B=1.51) y al dividir los del lado B-C (o sea B-D=4.77 y D-C=2.89) el resultado es el mismo, 1.65 (redondeado a dos decimales).

A partir de este ejemplo, se pide realizar en GeoGebra un triángulo, trazar la paralela a uno de sus lados, medir cada segmento y verificar que los resultados de las divisiones serán iguales. También deben medir los segmentos paralelos y explicar lo que sucede. Todo debe estar en la carpeta para seguir avanzando en clase.

Saludos.

En GeoGebra (3°)

Estimados alumnos, comenzamos a trabajar en GeoGebra.
Para algún remolón que todavía no descargó el programa, en este mismo blog pueden encontrar el enlace a la página oficial. Busquen el título en la columna de la derecha, en el mes de Marzo. Recuerden que es un software libre y gratuito por ser educativo.

Trabajaremos con los contenidos dados en las últimas clases (funciones trigonométricas)

Consignas:
1. Hacer la circunferencia trigonométrica (de radio 1)
2. Colocar un punto sobre la circunferencia (de modo que se mueva sobre ella cuando la arrastremos con el ratón)
3. Trazar un segmento desde el centro hasta el punto móvil
4. Trazar la perpendicular al eje x que pase por el punto móvil
5. Trazar otro segmento que represente al cateto opuesto del ángulo que se forma (se verá sobre la perpendicular anterior)
6. Editar el aspecto del cateto (haciendo doble clic sobre el mismo)
7. Hacer invisible la perpendicular (clic en la bolita que está a la izquierda de la fórmula en el espacio reservado al álgebra, columna izquierda)
8. Colocar el ángulo que forma el segmento móvil con el eje x y editarlo para que quede más grande

Finalmente guardar el ejercicio con el nombre de ustedes en un pendrive para verlo en clase o enviarlo a rcejas7@abc.gob.ar
Debería quedar algo así...

Todo lo que se pide fue visto en diferentes clases durante el año. Si no recuerdan algo, a buscar en la carpeta.
 La mejor manera de aprender es haciendo, asique manos a la obra.