Polinomios I (4° año)

Hola chicos, les propongo un problema que sirve como introducción al tema.

Si imaginamos cortar un cubo justo al medio por cada cara, conseguiremos 8 cubitos iguales. Si se cortara dos veces por cada cara, ¿cuántos cubitos obtendremos? ¿Y si hiciéramos cinco cortes equidistantes en cada cara?
¿Podrían armar una fórmula que permita calcular cuántos cubitos se obtienen al hacer n cortes?
Primero observen los dibujos y luego intenten completar la tabla.

Cantidad de:
cortes por   cara	cubos por arista	cubos por cara	cubos en total
1	2	4	8
2	3	9
3	4
4
5
…
n

Analicen bien los datos y arriben a la conclusión justificando todo.

Por favor, copien el ejercicio y la siguiente teoría en sus carpetas.

Funciones de fórmula  f(x) = xⁿ
Ya sabemos que el grado de un polinomio está dado por la mayor de las potencias de x del mismo. Así el polinomio p(x)=x³ +4x² +x -6 es de grado 3. Esto indica que tendrá a lo sumo, tres raíces. Esta es la primera de las cosas que debemos averiguar para realizar un análisis y posterior gráfica de una función polinómica. También es necesario conocer ordenada al orígen, conjuntos de positividad y de negatividad y otros detalles que iremos aprendiendo.
Función  f(x) = x³

Esta es la función cúbica elemental. Debido a que el único valor de x que hace anula la función es 0, entonces x =0 será la única raíz. Por ser potencia impar, los valores de x <0 darán resultados negativos y los x >0 darán positivos. Dicho de otra forma, el intervalo de nagatividad es (-∞; 0) y el de positividad es (0; +∞).

Luego de realizar una tabla, la función tendrá el siguiente gráfico:

x	x3
2	23=8
-2	(-2)3=-8
3	33=27
-3	(-3)3=-27

 

Problemas geométricos (4° año)

Hola.
Aquí les dejo algunos problemas que deberán resolver en sus carpetas y luego buscar un camino alternativo con GeoGebra (ya hemos trabajado con este programa).

1) Los puntos A(2, 2) y B(–10, –2) son los vértices correspondientes al lado desigual de un triángulo  isósceles. El otro vértice está sobre la recta a: 

y = 4 -x

   3

Determinar el vértice no dado y hallar el área del triángulo correspondiente.

2) Tenemos un triángulo de vértices A(4, 9), B(11, 10) y C(9, 4):

         a) Comprueba que es un triángulo isósceles.

      b) Trazamos una recta paralela al lado desigual, pasando por (7, 6), y se forma un

trapecio isósceles. Determina los vértices del trapecio y su área. 

  3) Los vértices de un triángulo son A(3, –5), B(–1, 1) y C(0, –4).

    a) Halla el circuncentro. 

    b) Calcula el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo dado. Representa dicha circunferencia. 

Fuente: http://www.sinewton.org/numeros/numeros/75/Experaula_01.pdf

Construcción de triángulos con regla y compás

A partir de lo explicado en clase, les dejo la manera de construir un triángulo (en este caso uno escaleno) con compás y regla.
Suponiendo que nos dan los segmentos que corresponden a los lados del triángulo (a, b y c), simplemente se siguen estos pasos:

Fuente: http://matematicasquinto.webnode.es/pensamiento-espacial-y-sistemas-geometrico/la-historia-de-isosceles-triangulo/momento-3/aplicaciones/

 Les propongo como ejercicio, que intenten construir un cuadrado perfecto con regla y compás (vale hacer buscar ayuda en internet).

Por otro lado, bajen a sus computadoras el programa GeoGebra, que es una aplicación gratuita por tener fines solamente educativos. A medida que vayamos aprendiendo a usarlo, se harán trabajos en clase (no olviden llevar la compu).

¡Salud! 

Ejercicios con ángulos 1°

Hola chicos.
Les dejo unas sumas de ángulos (sistema sexagesimal) muy sencillas...

α=   48° 39' 20"
β=   97° 44' 37"
γ=   15° 19' 56"
δ= 134° 41' 24"
Dados estos datos hallar (α+β); (γ+δ); (β+γ) y (α+δ)

Repasamos y copiamos en carpeta el siguiente cuadro:

¡Buena semana!

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Para resolver un sistema de ecuaciones hay varios métodos.
El primero que veremos es el método gráfico. Como ustedes ya saben graficar una recta dada su ecuación, resulta rápido y sencillo. Pero en algunos casos, no podrá verse el resultado exacto, ya que no siempre las rectas se cruzan en una coordenada (x; y) de valores enteros. Eso si, siempre este método nos permite aproximarnos a la respuesta.

Método gráfico
Dado un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, despejamos de ambas ecuaciones la variable y, los cual nos permite ver a la ecuación de la recta como estamos acostumbrados.
Luego simplemente graficamos ambas rectas en el mismo plano cartesiano y donde se corten será la solución del sistema. Es decir que los valores de x y de y en el par ordenado, son los valores que resuelven el sistema dado.

Veamos un ejemplo:

2.x +y = 4

x +3.y = 7

al despejar y en ambas, nos quedan las ecuaciones de rectas (paso 1):

y = 4 -2.x

y = (7 -x)

      3

 y al graficarlas, se cruzan en el par ordenado A = (1; 2).  

 

Luego, la solución del sistema: x=1;  y=2

Los métodos que veremos a continuación son analíticos, lo que nos permite lograr exactitud.

Método de igualación

En este caso, como en el anterior, debemos despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones. Igualamos ambas expresiones entre sí para obtener el valor de y. Luego se calcula el valor de x reemplazando y en cualquiera de las ecuaciones del sistema.

Utilizamos el ejemplo anterior, y aprovechamos el paso 1. Igualamos las expresiones obtenidas:

4 -2.x = 7 -x

             3

Al resolver queda x =1. Después reemplazamos este valor en cualquiera de las ecuaciones originales:

 2.1 +y = 4  o bien   1 +3.y = 7

Despejamos y encontramos que es y = 2.

Luego, la solución del sistema: x=1;  y=2

Método de sustitución

En este caso se empieza despejando una incógnita de una de las ecuaciones y esa expresión se reemplaza en la otra.

Ejemplo

(a)     2.x -3.y =3

(b)     3.x +y =10

Despejamos y de la ecuación b, quedando

(c)      y = 10 -3x

Reemplazamos esa expresión en a:

2.x -3.(10 -3.x) = 3

Resolviendo, se obtiene que x = 3, este valor se reemplaza en c para determinar que y = 1.

Luego, la solución del sistema: x = 3; y = 1

Método de reducción por sumas y restas

Sabido es que al multiplicar a una ecuación por cualquier número, la ecuación resultante es equivalente. 

Para aplicar este método hay que llevar ambas ecuaciones a la forma  a.x +b.y = c

La idea es igualar los coeficientes de una de las incógnitas para luego elimininarla, mediante una suma o una resta entre las ecuaciones resultantes, y así obtener una ecuación de una sola incógnita.

Miren este ejemplo:

2x -3y = 3

3.x +y = 10

Multiplicamos la primera ecuación por el coeficiente que tiene x en la segunda, y la segunda por el coeficiente que tiene x en la primera.

3.(2.x -3.y = 3)  y obtenemos     6.x -9.y = 9  

2.(3.x +y = 10)  y obtenemos     6.x +2.y = 20

Entonces restamos una a la otra:

6.x -9.y =  9                                        

6.x +2.y =  20                                       

 -11.y = -11      por lo que    y = 1

Pueden averiguar el valor de x reemplazando el valor de y en cualquiera de las ecuaciones del sistema. Así resulta que 3.x +1 = 10, con lo que x = 3.