Combinatoria - Combinaciones (3°)

Hasta el momento trabajamos con la parte de la combinatoria a la que le importa el orden de los elementos. En esta oportunidad veremos qué hacer si no importa el orden.
Veamos un esquema, llamado diagrama de flujo.



En un diagrama de flujo se sigue, como su nombre lo indica, el flujo de información. Es muy útil para diseñar o analizar situaciones problemáticas.

Luego del comienzo (com) nos preguntamos ¿importa el orden? En verde se destaca la salida negativa, que es lo que nos importa hoy.

Un ejemplo siempre aclara:

Si me dan a elegir entre seis ingredientes para hacer una ensalada y yo la quiero con cuatro ingredientes (por ej. zanahoria, lechuga, tomate y huevo duro). Claramente no importa el orden en el que incorpore los elementos a la ensalada.

Entonces podemos decir que busco combinar 4 elementos tomados entre 6 opciones.

En principio será como una variación. Pero así estamos contando las permutaciones entre los cuatro elementos elegidos (que es 4!), asique al descontarlas quedará:

         6!          =      6*5*4*3*2*1    

(6-4)! * 4!         2*1 * 4*3*2*1

Esto puede parecer complicado, pero con algunos ejercicios que sean analizados, quedará mucho más claro. Por eso propongo que intenten realizar ustedes mismos el siguiente, como tarea y siguiendo el ejemplo dado:

1. En el coro de una escuela, participan 18 chicas y 9 chicos. El director de dicho coro debe elegir 4 voces masculinas y 5 voces femeninas para interpretar una canción.

    a. ¿De cuántas maneras puede seleccionar el director las voces masculinas?

    b. ¿Cuántas elecciones de voces femeninas puede realizar el director?

Triángulo de Pascal o Tartaglia - Binomio de Newton (3°)

Hace algunas clases conocimos el Triángulo de Tartaglia ó de Pascal. Las filas se numeran comenzando por cero que es la de arriba de todo.
Vimos que los resultados son en definitiva caminos posibles de una moneda o pelotita que cae optando por un lado o el otro de cada "clavito" (pensando a cada número como un clavo) y se dedujo que cada valor es la suma de los dos superiores, como se ve a continuación:

http://unidad-conjuntos.wikispaces.com/Tri%C3%A1ngulo+de+Pascal

Uno de los usos es el que vimos en clase, como herramienta para resolver el conocido binomio de Newton donde el número de fila es la potencia de dicho binomio y los valores intermedios.
Veamos unos ejemplos:

(a+b)² = a² + 2 ab + b²

(a+b)³ = a³ + 3 a²b + 3 ab² + b³

(a+b)⁴ = a⁴ + 4 a³b + 6 a²b² + 4 ab³ + b⁴

Los extremos del desarrollo son los valores a y b elevados a la potencia que se indique, mientras los coeficientes de las distintas potencias tienen directa relación con los valores del triángulo.

Ejercicio:
1. Expliquen con sus palabras la relación existente en el desarrollo respecto a las potencias de cada término.
2. Desarrollar  (a+b)⁵ y (a+b)⁶.

Como ayuda les dejo este enlace que les agilizará la construcción del Triángulo de Pascal/Tartaglia con las filas que quieran: http://www.estadisticaparatodos.es/triangulo

Combinatoria - Variaciones sin repetición (3°)

Se les dió un ejercicio similar al que sigue y ustedes intentaron resolverlo. Veamos otro.

Imaginen que tienen una bolsa oscura (no se puede ver lo que hay dentro) que contiene 8 bolitas numeradas del 1 al 8.
Si se extraen tres bolitas de a una por turno y sin mirar: ¿Cuántos números de tres cifras pueden armarse con dichas extracciones?

Analicemos la situación y hagamos algunos supuestos:
1. Al sacar la primera, puede salir cualquiera de los 8 números.
2. Al sacar la segunda, puede salir un número entre 7 posiblidades, ya que saqué la primera antes y no la repuse.
3. Por lo mismo, al sacar la tercera tendré 6 bolitas númeradas para elegir al azar.

Luego de este breve análisis podemos arribar a una posible solucíón: 8 * 7 * 6 elecciones posibles hacen un total de 336 posibles números de tres cifras. Con el objetivo de asegurarse de lo que digo (siempre duden de lo que se les dice, asegúrense ustedes mismos), les pido que escriban todos los posibles números de tres cifras que contienen al número 1 en alguna posición (unidad, decena o centena).

La situación expuesta es parecida a una permutación, pero de NO TODOS los elementos. Ésto se llama variación de 8 elementos tomados de a 3. Se escribe V_{8; 3} y su fórmula es la siguiente:

V_8;3 =  8!   =  8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

5!            5 * 4 * 3 * 2 * 1

El número 5 surge de restar 3 al 8.

Llamamos variación sin repetición de m elementos tomados de a n, a cada forma de ordenar m elementos en n lugares, sin que un mismo elemento pueda ubicarse en más de un lugar. Se calcula de la siguiente manera:

V_{m; n} =     m!             con m > n

(m-n)!             

Ejercicio: 

¿Qué sucedería en el caso que m = n en la fórmula dada?

Combinatoria - Permutaciones (3°)

En estas semanas estuvimos aprendiendo conceptos muy útiles para el conteo de situaciones que pueden ocurrir en cualquier ámbito.
Comenzamos analizando el juego del "Sudoku" básico. El mismo es una matriz de tres por tres en el que se colocan los números del 1 al 9 y cada fila, cada columna y cada diagonal deben sumar 15.
Por consiguiente se propuso armar ternas que sumaran 15 con el conjunto dado. Así, ustedes armaron todas las ternas que puedieron, respetando las condiciones que no se repitan números y que estén ordenadas de menor a mayor.

Conjunto A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Ternas de A que comienzan con 1 y suman 15: {1; 5; 9}, {1; 6; 8}
Ternas de A que comienzan con 2 y suman 15: {2; 4; 9}, {2; 5; 8}, {2; 6; 7}
Ternas de A que comienzan con 3 y suman 15: {3; 4; 8}, {3; 5; 7}
Ternas de A que comienzan con 4 y suman 15: {4; 5; 6}

Con las condiciones dadas, no hay más ternas. Y esas condiciones son necesarias para evitar confundirse.
A continuación, con cada terna queremos saber de cuántas maneras las podemos utilizar. Es decir, que con la terna {1; 5; 9} podemos hacer otras: {1; 9; 5}, {5; 1; 9} y otras (completar). ¿Cuántas son? En este caso, por ser pocos números, haciendo una lista se deduce fácilmente. Pero si fueran muchos se complicaría un poco. Entonces analicemos.

Los números {1; 5; 9} se deben ubicar en los lugares correspondiente a unidad, decena y centena. Veamos: para la centena podemos elegir el 1, el 5 o el 9. Para la decena podemos elegir entre dos de ellos(porque ya utilizamos el primero en la centena), y para la unidad queda uno solo. Así 3 posibilidades para el primer lugar, 2 para el segundo y 1 para el tercero... son 3 * 2 * 1 = 6. Entonces podemos organizar los tres números de seis maneras distintas.

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A esta multiplicación (3 * 2 * 1)  se la llama factorial de un número (en este caso factorial de 3) y se escribe n! (en este caso 3!). Por convención se define que el factorial de 0 es 1. Es decir 0! = 1.
Conceptualmente es la permutación de n elementos. Es decir que:

P_n = n! = n * (n-1) * (n-2) * (n-3) * ... * (n-n+1)

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Ejemplo 1:
¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse 4 personas en 4 lugares libres?

Esto es la permutación de 4 elementos.

P₄ = 4! = 4 * 3 * 2 *1 = 24

Rta: Pueden sentarse de 24 maneras diferentes.

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Ejemplo 2:
Si en un cd hay 10 canciones grabadas y quisiera escucharlas en distinto orden cada día. ¿Cuántos dias pasarán hasta que vuelva a repetirse la serie de canciones?

Esto es la permutación de 10 elementos.

P₁₀ = 10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 *1 = 3628800

Rta: Pasarán 3628800 días antes de repetir una serie.

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Luego, habrá 8 ternas con 6 posibles permutaciones cada una, Por lo tanto habrá 48 ternas utilizables para armar el "Sudoku" básico. Un ejemplo:

Ejercicio: Armar dos Sudoku para completar, colocando sólo 3 datos en la matriz.

Expo Técnica 1 - Dock Sud

Durante los días 6 y 7 de noviembre del corriente año se realizó la exposición promocional que anualmente organiza la EET n° 1 de Dock Sud, Avellaneda, Buenos Aires.
Uno de los trabajos destacados de la Institución es la inclusión de un séptimo año puramente práctico, donde alumnos y docentes realizan proyectos anuales. El proyecto actualmente en ejecución es la reparación y puesta en marcha de varias computadoras a las que se les instala un sistema operativo y se agregan programas que realizan los alumnos. Dichos programas son juegos interactivos para niños de edad preescolar (totalmente desarrollados por alumnos). En este caso, se acordó la donación de lo antedicho al jardín de infantes vecino a la Institución, una vez finalizados los trámites de registro para permitir la distribución. Para mas información, puede llamar al teléfono 42038006.
Aprovecho la ocasión para mostrar algunos trabajos que expusieron distintos cursos.