Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Para resolver un sistema de ecuaciones hay varios métodos.
El primero que veremos es el método gráfico. Como ustedes ya saben graficar una recta dada su ecuación, resulta rápido y sencillo. Pero en algunos casos, no podrá verse el resultado exacto, ya que no siempre las rectas se cruzan en una coordenada (x; y) de valores enteros. Eso si, siempre este método nos permite aproximarnos a la respuesta.

Método gráfico
Dado un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, despejamos de ambas ecuaciones la variable y, los cual nos permite ver a la ecuación de la recta como estamos acostumbrados.
Luego simplemente graficamos ambas rectas en el mismo plano cartesiano y donde se corten será la solución del sistema. Es decir que los valores de x y de y en el par ordenado, son los valores que resuelven el sistema dado.

Veamos un ejemplo:

2.x +y = 4

x +3.y = 7

al despejar y en ambas, nos quedan las ecuaciones de rectas (paso 1):

y = 4 -2.x

y = (7 -x)

      3

 y al graficarlas, se cruzan en el par ordenado A = (1; 2).  

 

Luego, la solución del sistema: x=1;  y=2

Los métodos que veremos a continuación son analíticos, lo que nos permite lograr exactitud.

Método de igualación

En este caso, como en el anterior, debemos despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones. Igualamos ambas expresiones entre sí para obtener el valor de y. Luego se calcula el valor de x reemplazando y en cualquiera de las ecuaciones del sistema.

Utilizamos el ejemplo anterior, y aprovechamos el paso 1. Igualamos las expresiones obtenidas:

4 -2.x = 7 -x

             3

Al resolver queda x =1. Después reemplazamos este valor en cualquiera de las ecuaciones originales:

 2.1 +y = 4  o bien   1 +3.y = 7

Despejamos y encontramos que es y = 2.

Luego, la solución del sistema: x=1;  y=2

Método de sustitución

En este caso se empieza despejando una incógnita de una de las ecuaciones y esa expresión se reemplaza en la otra.

Ejemplo

(a)     2.x -3.y =3

(b)     3.x +y =10

Despejamos y de la ecuación b, quedando

(c)      y = 10 -3x

Reemplazamos esa expresión en a:

2.x -3.(10 -3.x) = 3

Resolviendo, se obtiene que x = 3, este valor se reemplaza en c para determinar que y = 1.

Luego, la solución del sistema: x = 3; y = 1

Método de reducción por sumas y restas

Sabido es que al multiplicar a una ecuación por cualquier número, la ecuación resultante es equivalente. 

Para aplicar este método hay que llevar ambas ecuaciones a la forma  a.x +b.y = c

La idea es igualar los coeficientes de una de las incógnitas para luego elimininarla, mediante una suma o una resta entre las ecuaciones resultantes, y así obtener una ecuación de una sola incógnita.

Miren este ejemplo:

2x -3y = 3

3.x +y = 10

Multiplicamos la primera ecuación por el coeficiente que tiene x en la segunda, y la segunda por el coeficiente que tiene x en la primera.

3.(2.x -3.y = 3)  y obtenemos     6.x -9.y = 9  

2.(3.x +y = 10)  y obtenemos     6.x +2.y = 20

Entonces restamos una a la otra:

6.x -9.y =  9                                        

6.x +2.y =  20                                       

 -11.y = -11      por lo que    y = 1

Pueden averiguar el valor de x reemplazando el valor de y en cualquiera de las ecuaciones del sistema. Así resulta que 3.x +1 = 10, con lo que x = 3.

  

Paralelismo, coincidencia y perpendicularidad

Ya sabemos que en la función lineal, la pendiente de la recta representada está dada por el coeficiente de "x" y la ordenada al orígen está dada por el término independiente.

Luego, dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales y sus términos independientes distintos.

Ejemplos de rectas paralelas:

 f(x) = 3x +1    es paralela a     g(x) = 3x -7

h(x) = -2x +5    es paralela a     i(x) = -2x -4

  j(x) = (1/6)x +2    es paralela a     k(x) = (1/6)x +9

Ejercicio: ¿Puedes decir cuál ecuación corresponde a cada recta?

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¿Por qué sus términos independientes deben ser distintos?

Sabemos que dicho término indica el punto en que la recta corta al eje "y", en consecuencia si las dos rectas tienen el mismo, pasarán por el mismo punto y al tener igual pendiente, se superponen.

Luego, dos rectas son coincidentes si y sólo si sus respectivas pendientes y términos independientes son iguales.

Ejemplos de rectas coincidentes:

 f(x) = 5x +1    es coincidente a     g(x) = 5x +1

h(x) = 17x -4    es coincidente a     i(x) = 17x -4

 j(x) = -6x +2    es coincidente a     k(x) = -6x +2

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Se sabe que dos rectas son perpendiculares si al cruzarse forman ángulos rectos.

Luego, dos rectas son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -1 (en estos casos la ordenada al orígen no afecta la condición)

Ejemplos de rectas perpendiculares:

 f(x) = 5x +1    es perpendicular a     g(x) = (-1/5)x +4   porque  5.(-1/5) = -1
 h(x) = (2/3)x +3    es perpendicular a     i(x) = (-3/2)x -7    porque  (2/3).(-3/2) = -1
 j(x) = (-9/4)x +3/2   es perpendicular a    k(x) = (4/9)x -6   porque  (-9/4).(4/9) = -1

 

Ejercicio: ¿Puedes decir cuál ecuación corresponde a cada recta?

Módulo de un vector

Es una aplicación más del Teorema de Pitágoras.
Veamos como hacerlo con el ejemplo de la entrada anterior:

El u^→= (6; -4), nos indica el movimiento en "x" (punteada azul horizontal) y el movimiento en "y" (punteada azul vertical). Dicho movimiento nos deja el dibujo de un triángulo rectángulo del cual "u" es su hipotenusa. Las longitudes de los catetos son los valores del mismo vector. Por lo tanto el módulo del u será:

|u^→| = √[6² + (-4)²]

|u^→| = √(52)

|u^→| ≅ 7.21

Por lo tanto el módulo (o valor absoluto) del vector "u" es aproximadamente 7.21.

Como se puede advertir, es muy fácil. Y más fácil aún es cuando el vector está en posición horizontal o vertical, pues en esos casos el módulo estará a la vista en el vector.

Por ejemplo un vector "v" que une los vétices B y C₁ del mismo esquema dado más arriba será:

v^→= (4; 0)  partiendo desde B= (5; 4).

Luego su módulo:

|v^→| = 4  partiendo desde B

Vectores en el plano

Para identificar ciertas magnitudes, como la longitud o la masa, es suficiente da un número y explicitar su unidad de medida. Así, si queremos establecer la longitud de una varilla, basta con decir que su largo en de 20 cm.

Sin embargo, otras magnitudes -como la fuerza o la velocidad- no quedan determinadas si además no se indica una dirección y un sentido.

Para expresar este tipo de magnitudes se recurre al concepto de vector (de ahí que se las llame magnitudes vectoriales).

VECTOR

Si P y Q son dos puntos distintos del espacio, el segmento de orígen P y extremo Q se denomina vector PQ, y se simboliza PQ^→ o simplemente u^→.

Además, llamamos vector nulo a todo punto del plano o par ordenado y lo simbolizamos 0^→.

Éste no tiene dirección ni sentido.

VERSOR

Llamamos versor a todo vector de módulo 1, es decir: u^→ es versor ⇔ |u^→| = 1.

IGUALDAD DE VECTORES
Dos vectores no nulos son iguales (o equipolentes) si tienen igual dirección, igual sentido e igual módulo.

Ejemplo 1:

AB^→ = CD^→ ya que su dirección, sentido y módulo son iguales.

Ejemplo 2 (una aplicación):
Si tenemos un triángulo ABC en la posición que se señala en color azul y luego de una traslación se ubica en A₁B₁C₁, la posición señalada en verde. Entendemos que se movió, pero cómo puede definirse tal movimiento, Es aquí donde podemos utilizar un vector, el cual nos dirá el traslado del triángulo desde la posición en azul a la posición en verde.

Debido a que no hay rotación ni deformación del triángulo, podemos concentrarnos en un punto cualquiera, por ejemplo el vértice A y entender la traslación hasta el vértice A₁.
A= (2; 3)  →  A₁= (8; -1)
El vector (en rojo) se forma moviéndose 6 unidades en el eje "x" y -4 unidades en el eje "y". Por lo tanto diremos que el u^→= (6; -4) pero ATENCIÓN, el recorrido comienza en A= (2; 3).
Respuesta del ejemplo 2: El vector que representa el movimiento del triángulo es u^→= (6; -4) desde el punto A= (2; 3).

Debemos recordar que el vector de movimiento debe tener el dato de su orígen para evitar malos entendidos.

Fuentes: Matemática I Polimodal - Estrada - 2004
                Matemática II Polimodal - Santillana - 2000

Evaluación / Acreditación

La evaluación se orientará hacia una práctica que permita a los estudiantes superar la sola memorización de enunciados o la aplicación mecánica de reglas. A su vez, se entenderá como un proceso continuo, que involucra todas las actividades que el docente propone a sus alumnos y que no está asociada únicamente a la calificación obtenida en evaluaciones escritas.

Así como en las clases de Matemática se prioriza la participación y la actitud de hacerse cargo de la resolución de problemas matemáticos, esto formará parte también de la evaluación.

Para promover la materia como alumno regular, son requisitos indispensables:

·        Alcanzar la nota de siete (7) o más en el promedio de los tres trimestres

·        Participar en clase

·        Tener un porcentaje de asistencia mayor o igual que sesenta (60%)

·        Cumplimiento de fechas de entrega y aprobación de trabajos prácticos

·        Se considera una instancia de recuperación al final de cada trimestre, a evaluar por el docente, en función de los aprendizajes no adquiridos por el estudiante o no evaluados por ausencia debidamente justificada del mismo.

Metodología de trabajo

Se trabajará con los alumnos de manera presencial y con el apoyo de la tecnología.

Se mantendrá contacto por vía de correo electrónico y vía el blog www.matematicaflexible.blogspot.com.ar (de autoría propia) a fin de no perder fechas por cualquier motivo que fuere.

Con esto se espera completar el programa además de fortalecer los conocimientos de los alumnos en el uso adecuado de la computadora.

Se pedirán trabajos prácticos a hacerse en GeoGebra y enviarse por el medio antes mencionado.

Se enviarán otros trabajos para resolverse en el aplicativo Word o bien podrán realizarse en papel.