Para resolver un sistema de ecuaciones hay varios métodos.
El primero que veremos es el
método gráfico. Como ustedes ya saben
graficar una recta dada su ecuación, resulta rápido y sencillo. Pero en algunos casos, no podrá verse el resultado exacto, ya que no siempre las rectas se cruzan en una coordenada (x; y) de valores enteros. Eso si, siempre este método nos permite aproximarnos a la respuesta.
Método gráfico
Dado un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, despejamos de ambas ecuaciones la variable
y, los cual nos permite ver a la ecuación de la recta como estamos acostumbrados.
Luego simplemente graficamos ambas rectas en el mismo plano cartesiano y donde se corten será la solución del sistema. Es decir que los valores de
x y de
y en el par ordenado, son los valores que resuelven el sistema dado.
Veamos un ejemplo:
2.x +y = 4
x +3.y = 7
al despejar
y en ambas, nos quedan las ecuaciones de rectas
(paso 1):
y = 4 -2.x
y = (7 -x)
3
y al graficarlas, se cruzan en el par ordenado A = (1; 2).
Luego, la solución del sistema: x=1; y=2
Los métodos que veremos a continuación son analíticos, lo que nos permite lograr exactitud.
Método de igualación
En este caso, como en el anterior, debemos despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones. Igualamos ambas expresiones entre sí para obtener el valor de y. Luego se calcula el valor de x reemplazando y en cualquiera de las ecuaciones del sistema.
Utilizamos el ejemplo anterior, y aprovechamos el paso 1. Igualamos las expresiones obtenidas:
4 -2.x = 7 -x
3
Al resolver queda x =1. Después reemplazamos este valor en cualquiera de las ecuaciones originales:
2.1 +y = 4 o bien 1 +3.y = 7
Despejamos y encontramos que es y = 2.
Luego, la solución del sistema: x=1; y=2
Método de sustitución
En este caso se empieza despejando una incógnita de una de las ecuaciones y esa expresión se reemplaza en la otra.
Ejemplo
(a) 2.x -3.y =3
(b) 3.x +y =10
Despejamos y de la ecuación b, quedando
(c) y = 10 -3x
Reemplazamos esa expresión en a:
2.x -3.(10 -3.x) = 3
Resolviendo, se obtiene que x = 3, este valor se reemplaza en c para determinar que y = 1.
Luego, la solución del sistema: x = 3; y = 1
Método de reducción por sumas y restas
Sabido es que al multiplicar a una ecuación por cualquier número, la ecuación resultante es equivalente.
Para aplicar este método hay que llevar ambas ecuaciones a la forma a.x +b.y = c
La idea es igualar los coeficientes de una de las incógnitas para luego elimininarla, mediante una suma o una resta entre las ecuaciones resultantes, y así obtener una ecuación de una sola incógnita.
Miren este ejemplo:
2x -3y = 3
3.x +y = 10
Multiplicamos la primera ecuación por el coeficiente que tiene x en la segunda, y la segunda por el coeficiente que tiene x en la primera.
3.(2.x -3.y = 3) y obtenemos 6.x -9.y = 9
2.(3.x +y = 10) y obtenemos 6.x +2.y = 20
Entonces restamos una a la otra:
6.x -9.y = 9
6.x +2.y = 20
-11.y = -11 por lo que y = 1
Pueden averiguar el valor de x reemplazando el valor de y en cualquiera de las ecuaciones del sistema. Así resulta que 3.x +1 = 10, con lo que x = 3.
