Hola chicos, aquí les dejo los enlaces a los ejercicios tal como habíamos hablado en clase:
Ejercicios combinados con paréntesis
Ejercicios y algo de teoría sobre ángulos
Recuerden copiar todo en la carpeta y luego iremos corrigiendo en clase.
Saludos y felices Pascuas para toda la familia.
lunes, 26 de marzo de 2018
domingo, 25 de junio de 2017
Demostraciones I (4°)
En este primer caso, veremos como expone el propio Euclides la proposición que habla de los ángulos en una circunferencia:
Libro III. Proposición 20. En un círculo, el ángulo correspondiente al centro es el doble del correspondiente a la circunferencia cuando los ángulos tienen como base la misma circunferencia.
Veamos un gráfico realizado con GeoGebra en el siguiente enlace: Ángulos inscritos en una circunferencia.
¿Se puede demostrar? Si.
Hipótesis:
Dados la circunferencia c, el ángulo central comprendido entre los puntos CAD y el ángulo CED, se dice que CAD es el doble de CED.
Ayuda complementaria: trazaremos un segmento desde E hasta el otro extremo de la circunferencia (F) que pase por el punto central A. Con este segmento se forman los triángulos CAE y DAE.
Tesis:
CAE y DAE son triángulos isósceles por tener dos de sus lados iguales al radio de la circunferencia.
Los ángulos AED + ADE = FAD por ser este último, ángulo exterior del triángulo DAE, es decir 2.AED = FAD.
Por lo mismo, AEC + ACE = FAC, entonces 2.AEC = FAC.
Asimismo los ángulos FAD + FAC = CAD y también AED + AEC = CED.
Demostración:
Libro III. Proposición 20. En un círculo, el ángulo correspondiente al centro es el doble del correspondiente a la circunferencia cuando los ángulos tienen como base la misma circunferencia.
Veamos un gráfico realizado con GeoGebra en el siguiente enlace: Ángulos inscritos en una circunferencia.
¿Se puede demostrar? Si.
Hipótesis:
Dados la circunferencia c, el ángulo central comprendido entre los puntos CAD y el ángulo CED, se dice que CAD es el doble de CED.
Ayuda complementaria: trazaremos un segmento desde E hasta el otro extremo de la circunferencia (F) que pase por el punto central A. Con este segmento se forman los triángulos CAE y DAE.
Tesis:
CAE y DAE son triángulos isósceles por tener dos de sus lados iguales al radio de la circunferencia.
Los ángulos AED + ADE = FAD por ser este último, ángulo exterior del triángulo DAE, es decir 2.AED = FAD.
Por lo mismo, AEC + ACE = FAC, entonces 2.AEC = FAC.
Asimismo los ángulos FAD + FAC = CAD y también AED + AEC = CED.
Demostración:
FAD + FAC = CAD
2.AED + 2.AEC = CAD
2.(AED + AEC) = CAD
2.(CED) = CAD
lqqd.
Copien esto en carpeta y realicen el gráfico del enlace. Tengan en cuenta que en el enlace pueden mover cualquier punto y verán que se mantiene siempre la relación que aquí se demostró.
Saludos cordiales.
martes, 25 de octubre de 2016
Polinomios I (4° año)
Hola chicos, les propongo un problema que sirve como introducción al tema.
Si imaginamos cortar un cubo justo al medio por cada cara, conseguiremos 8 cubitos iguales. Si se cortara dos veces por cada cara, ¿cuántos cubitos obtendremos? ¿Y si hiciéramos cinco cortes equidistantes en cada cara?
¿Podrían armar una fórmula que permita calcular cuántos cubitos se obtienen al hacer n cortes?
Primero observen los dibujos y luego intenten completar la tabla.
Analicen bien los datos y arriben a la conclusión justificando todo.
Por favor, copien el ejercicio y la siguiente teoría en sus carpetas.
Funciones de fórmula f(x) = xn
Ya sabemos que el grado de un polinomio está dado por la mayor de las potencias de x del mismo. Así el polinomio p(x)=x3 +4x2 +x -6 es de grado 3. Esto indica que tendrá a lo sumo, tres raíces. Esta es la primera de las cosas que debemos averiguar para realizar un análisis y posterior gráfica de una función polinómica. También es necesario conocer ordenada al orígen, conjuntos de positividad y de negatividad y otros detalles que iremos aprendiendo.
Función f(x) = x3
Luego de realizar una tabla, la función tendrá el siguiente gráfico:
Si imaginamos cortar un cubo justo al medio por cada cara, conseguiremos 8 cubitos iguales. Si se cortara dos veces por cada cara, ¿cuántos cubitos obtendremos? ¿Y si hiciéramos cinco cortes equidistantes en cada cara?
¿Podrían armar una fórmula que permita calcular cuántos cubitos se obtienen al hacer n cortes?
Primero observen los dibujos y luego intenten completar la tabla.
| Cantidad de: | |||
| cortes por cara | cubos por arista | cubos por cara | cubos en total |
| 1 | 2 | 4 | 8 |
| 2 | 3 | 9 | |
| 3 | 4 | ||
| 4 | |||
| 5 | |||
| … | |||
| n | |||
Analicen bien los datos y arriben a la conclusión justificando todo.
Por favor, copien el ejercicio y la siguiente teoría en sus carpetas.
Funciones de fórmula f(x) = xn
Ya sabemos que el grado de un polinomio está dado por la mayor de las potencias de x del mismo. Así el polinomio p(x)=x3 +4x2 +x -6 es de grado 3. Esto indica que tendrá a lo sumo, tres raíces. Esta es la primera de las cosas que debemos averiguar para realizar un análisis y posterior gráfica de una función polinómica. También es necesario conocer ordenada al orígen, conjuntos de positividad y de negatividad y otros detalles que iremos aprendiendo.
Función f(x) = x3
Esta es la función cúbica elemental. Debido a que el único valor de x que hace anula la función es 0, entonces x =0 será la única raíz. Por ser potencia impar, los valores de x <0 darán resultados negativos y los x >0 darán positivos. Dicho de otra forma, el intervalo de nagatividad es (-∞; 0) y el de positividad es (0; +∞).
|
x
|
x3
|
|
2
|
23=8
|
|
-2
|
(-2)3=-8
|
|
3
|
33=27
|
|
-3
|
(-3)3=-27
|
domingo, 4 de septiembre de 2016
Problemas geométricos (4° año)
Hola.
Aquí les dejo algunos problemas que deberán resolver en sus carpetas y luego buscar un camino alternativo con GeoGebra (ya hemos trabajado con este programa).
1) Los puntos A(2, 2) y B(–10, –2) son los vértices correspondientes al lado desigual de un triángulo isósceles. El otro vértice está sobre la recta a:
Aquí les dejo algunos problemas que deberán resolver en sus carpetas y luego buscar un camino alternativo con GeoGebra (ya hemos trabajado con este programa).
1) Los puntos A(2, 2) y B(–10, –2) son los vértices correspondientes al lado desigual de un triángulo isósceles. El otro vértice está sobre la recta a:
y = 4 -x
3
Determinar el vértice no dado y hallar el área del triángulo correspondiente.
2) Tenemos un triángulo de vértices A(4, 9), B(11, 10) y C(9, 4):
a) Comprueba que es un triángulo isósceles.
b) Trazamos una recta paralela al lado desigual, pasando por (7, 6), y se forma un
trapecio isósceles. Determina los vértices del trapecio y su área.
3) Los vértices de un triángulo son A(3, –5), B(–1, 1) y C(0, –4).
a) Halla el circuncentro.
b) Calcula el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo dado. Representa dicha circunferencia.
Fuente: http://www.sinewton.org/numeros/numeros/75/Experaula_01.pdf
miércoles, 13 de abril de 2016
Construcción de triángulos con regla y compás
A partir de lo explicado en clase, les dejo la manera de construir un triángulo (en este caso uno escaleno) con compás y regla.
Suponiendo que nos dan los segmentos que corresponden a los lados del triángulo (a, b y c), simplemente se siguen estos pasos:
Suponiendo que nos dan los segmentos que corresponden a los lados del triángulo (a, b y c), simplemente se siguen estos pasos:
Fuente: http://matematicasquinto.webnode.es/pensamiento-espacial-y-sistemas-geometrico/la-historia-de-isosceles-triangulo/momento-3/aplicaciones/
Les propongo como ejercicio, que intenten construir un cuadrado perfecto con regla y compás (vale hacer buscar ayuda en internet).
Por otro lado, bajen a sus computadoras el programa GeoGebra, que es una aplicación gratuita por tener fines solamente educativos. A medida que vayamos aprendiendo a usarlo, se harán trabajos en clase (no olviden llevar la compu).
¡Salud!
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